函数的单调性求法

1. 函数的单调性求法

解：先看开口方向（a>0开口向上;a<0开口向下），找对称轴
1、开口向上时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大
2、开口向下时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小、

2. 求函数单调性的方法

首先,最常用的就是导数法,利用定义证明函数y=f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
（1）任取x1，x2∈D，且x1<x2；
（2）作差f(x1)－f(x2)；
（3）变形（通常是因式分解和配方）；
（4）定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
（5）下结论（即指出函数
f(x)
在给定的区间D上的单调性）。
但是,如果复合函数的话
可以把函数化成几个单一的函数。
比如说y=4/(x+5)
我们可以看成是y=5/x
和y=x+5两个函数的复合,然后分别确定两个函数的单调区间，当然前边那个只是举例，事实上一般都比那个复杂。
确定完单一函数的单调区间后取交集,比如：第一个单一函数的单调区间是
（3，6）递增，[6，12）递减，（13，15）递增（假设这就是定义域）
第二个函数的单调区间是（3，12）单调递减，（13，15）递增
那么我们就要取他们的单调交集
因为第二个函数的递减区间是（3，12）
而第一个正好是（3，6）和[6,12)
那么就可以直接划分成（3，6），[6,12)，（13，15）三个集合
第一个集合是增减（即第一个函数是增，第2个函数是减）
依此类推，第二个集合是减减，第三个增增
有一个定理是复合函数的单调性是
增增得增
减减得增
增减得减
其实就是正负号相乘，正正得正，负负得正
关键在于找到单一函数和取对交集
最后,说明：
1、讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必
须先确定函数的定义域，
2、函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有
增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间
上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括
不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点。
希望对你有帮助.

3. 求函数单调性方法

求函数单调性的基本方法

1. 把握好函数单调性的定义。证明函数单调性一般（初学最好用定义）用定义（谨防循环论证），如果函数解析式异常复杂或者具有某种特殊形式，可以采用函数单调性定义的等价形式证明。另外还请注意函数单调性的定义是[充要命题]。 　 

2. 熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间。理解并掌握判断复合函数单调性的方法：同增异减。 　　

3. 高三选修课本有导数及其应用，用导数求函数的单调区间一般是非常简便的。 还应注意函数单调性的应用，例如求极值、比较大小，还有和不等式有关的问题。 　　

一般的，求函数单调性有如下几个步骤： 　　

1、取值X1,X2属于{？}，并使X1<X2< 　　

2、作差f(x1)-f(x2) 　　

3、变形 　

4、定号（判断f(x1)-f(x2)的正负） 　　

5、下结论编辑本段例题

　　判断函数的单调性y = 1/( x^2-2x-3)。 　　设x^2-2x-3=t， 　　令x^2-2x-3=0， 　　解得：x=3或x=-1， 　　当x>3和x0， 　　当-10时，x>3时， 　　t是增函数，1/t是减函数， 　　所以（3，+∞）是减区间， 　　而x<-1时，t是减函数， 　　所以1/t是增函数。 　　因此（-∞，-1）是增区间， 　　当x<0时， 　　-1<x<1,t是减函数， 　　所以1/t是增函数， 　　因此（-1，1）是增区间， 　　而1<x<3时，t是增函数，1/t是减函数， 　　因此（1，3）是减区间， 　　得到增区间是（-∞，-1）和（-1，1）， 　　（1，3）和（3，+∞）是减区间。编辑本段判断复合函数的单调性

方法： 　　

1.导数 　　

2.构造基本初等函数（已知单调性的函数） 　　

3.复合函数 　　根据同增异减口诀，先判断内层函数的单调性，再判断外层函数单调性，在同一定义域上，若两函数单调性相同，则此复合函数在此定义域上为增函数，反之则为减函数。 　　

4.定义法 　　

5.数形结合 　　复合函数的单调性一般是看函数包含的两个函数的单调性 　　（1）如果两个都是增的,那么函数就是增函数 　　（2）一个是减一个是增,那就是减函数 　　（3）两个都是减,那就是增函数

4. 函数求其单调性通常有几种方法？

首先,最常用的就是导数法,利用定义证明函数y=f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
（1）任取x1，x2∈D，且x1<x2；
（2）作差f(x1)－f(x2)；
（3）变形（通常是因式分解和配方）；
（4）定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
（5）下结论（即指出函数
f(x)
在给定的区间D上的单调性）。
但是,如果复合函数的话
可以把函数化成几个单一的函数。
比如说y=4/(x+5)
我们可以看成是y=5/x
和y=x+5两个函数的复合,然后分别确定两个函数的单调区间，当然前边那个只是举例，事实上一般都比那个复杂。
确定完单一函数的单调区间后取交集,比如：第一个单一函数的单调区间是
（3，6）递增，[6，12）递减，（13，15）递增（假设这就是定义域）
第二个函数的单调区间是（3，12）单调递减，（13，15）递增
那么我们就要取他们的单调交集
因为第二个函数的递减区间是（3，12）
而第一个正好是（3，6）和[6,12)
那么就可以直接划分成（3，6），[6,12)，（13，15）三个集合
第一个集合是增减（即第一个函数是增，第2个函数是减）
依此类推，第二个集合是减减，第三个增增
有一个定理是复合函数的单调性是
增增得增
减减得增
增减得减
其实就是正负号相乘，正正得正，负负得正
关键在于找到单一函数和取对交集
最后,说明：
1、讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必
须先确定函数的定义域，
2、函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有
增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间
上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括
不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点。
希望对你有帮助.

5. 函数求其单调性通常有几种方法？

首先,最常用的就是导数法,利用定义证明函数y=f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：  （1）任取x1，x2∈D，且x1<x2；  （2）作差f(x1)－f(x2)；  （3）变形（通常是因式分解和配方）；  （4）定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；  （5）下结论（即指出函数 f(x) 在给定的区间D上的单调性）。  但是,如果复合函数的话  可以把函数化成几个单一的函数。  比如说y=4/(x+5)  我们可以看成是y=5/x 和y=x+5两个函数的复合,然后分别确定两个函数的单调区间，当然前边那个只是举例，事实上一般都比那个复杂。  确定完单一函数的单调区间后取交集,比如：第一个单一函数的单调区间是  （3，6）递增，[6，12）递减，（13，15）递增（假设这就是定义域）  第二个函数的单调区间是（3，12）单调递减，（13，15）递增  那么我们就要取他们的单调交集  因为第二个函数的递减区间是（3，12）  而第一个正好是（3，6）和[6,12)  那么就可以直接划分成（3，6），[6,12)，（13，15）三个集合  第一个集合是增减（即第一个函数是增，第2个函数是减）  依此类推，第二个集合是减减，第三个增增  有一个定理是复合函数的单调性是  增增得增  减减得增  增减得减  其实就是正负号相乘，正正得正，负负得正  关键在于找到单一函数和取对交集  最后,说明：  1、讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必  须先确定函数的定义域，  2、函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有  增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间  上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括  不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点。  希望对你有帮助.

6. 函数单调性的求解方法

典型题例示范讲解 
　　例1已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤ },求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值 
　　命题意图 本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力 
　　知识依托 主要依据函数的性质去解决问题 
　　错解分析 题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域 
　　技巧与方法 借助奇偶性脱去“f”号，转化为x的不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值 
　　解 由 且x≠0,故0　　又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),
　　又f(x)在(－3，3)上是减函数，
　　∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,
　　综上得2　　∴B=A∪{x|1≤x≤ }={x|1≤x< },
　　又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－ )2－ 知g(x)在B上为减函数，
　　∴g(x)max=g(1)=－4 


　　例2已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0, ］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由 
　　命题意图 本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力 
　　知识依托 主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题 
　　错解分析 考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法 
　　技巧与方法 主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题 
　　解 ∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数 于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m),
　　即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0 
　　设t=cosθ,则问题等价地转化为函数
　　g(t)=t2－mt+2m－2=(t－ )2－ +2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正 
　　∴当 0 m>1与m<0不符；
　　当0≤ ≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－ +2m－2>0
　　4－2 　　当 >1,即m>2时，g(1)=m－1>0 m>1 ∴m>2
　　综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2 
　　另法(仅限当m能够解出的情况) cos2θ－mcosθ+2m－2>0对于θ∈［0, ］恒成立，
　　等价于m>(2－cos2θ)/(2－cosθ) 对于θ∈［0, ］恒成立
　　∵当θ∈［0, ］时，(2－cos2θ)/(2－cosθ) ≤4－2 ，
　　∴m>4－2 


　　例3 已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,
　　解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0 
　　解 ∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2) 
　　又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，
　　∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且f(－2)=f(2)=0
　　∴不等式可化为 log2(x2+5x+4)≥2	 ①
　　或 log2(x2+5x+4)≤－2	 ②
　　由①得x2+5x+4≥4，∴x≤－5或x≥0	 ③
　　由②得0＜x2+5x+4≤ 得
　　.......

7. 函数的单调性怎么求？

从单调性高中课本来说先判断单调区间，在单调区间上任取x1,x2，且x1
0
x1*x2>0;
∴f(x1)-f(x2)>0;
∴f(x)在（-∞,0）和(0,+∞)内单调递减。
如果是高中生像上面那样做可能算详细了吧。
用高数就求导：f(x)'=-1/x^2<0.所以........单调递减。
估计按这个办法能解决一些题吧。剩下的题应该不成问题才对，就当练习吧。
第四个函数由于x≠0，可化为f(x)=(6/x)+1,即一个反比例函数向上移一个单位。
如有疏漏，还望指出。

8. 函数的单调性怎么求？

从单调性高中课本来说先判断单调区间，在单调区间上任取x1,x2，且x1<x2.
对函数作差f(x1)-f(x2),若小于零，则函数在这个区间内递增。
也可以求导，从导函数是否大于零来看单调区间。
也可以从图像上看出增减性。
（1）函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）;
　　任取x1,x2x∈（-∞，0）或（0，+∞）.且x1<x2;（x1,x2在同一象限内）；
         f(x1)-f(x2)=(1/x1)-(1/x2)=(x2-x1)/(x1*x2);
         ∵x2-x1>0      x1*x2>0;
         ∴f(x1)-f(x2)>0;
         ∴f(x)在（-∞,0）和(0,+∞)内单调递减。
如果是高中生像上面那样做可能算详细了吧。
用高数就求导：f(x)'=-1/x^2<0.所以........单调递减。
估计按这个办法能解决一些题吧。剩下的题应该不成问题才对，就当练习吧。
第四个函数由于x≠0，可化为f(x)=(6/x)+1,即一个反比例函数向上移一个单位。
如有疏漏，还望指出。